实形式的平方和长度

对于$n,\,d\ge1$，令$p(n,2d)$表示最小的数$p$，使得$\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]$中$d$次形式的每个平方和都是$p$个平方的和。我们建立了这些数的下界，其远比迄今已知的界更强。结合已知上界，它们在三元情形给出$p(3,2d)\in\{d+1,\,d+2\}$。假设Iarrobino-Kanev关于catalecticant簇切空间维数的猜想，我们证明了对$d\to\infty$及所有$n\ge3$有$p(n,2d)\sim const\cdot d^{(n-1)/2}$。对于三元六次形式和四元四次形式，我们确定了该不变量的精确值，显示$p(3,6)=4$和$p(4,4)=5$。