三角数和与平方和

对于非负整数$a,b,$和$n$，令$N(a, b; n)$为$n$表示为系数为$1$或$3$的平方和（$a$个1与$b$个3）的表示数。令$N^*(a,b; n)$为$n$表示为系数为$1$或$3$的奇平方和（$a$个1与$b$个3）的表示数。我们有$N^*(a,b;8n+a+3b)$为$n$表示为系数为$1$或$3$的三角数和（$a$个1与$b$个3）的表示数。已知对满足$1\leq a+3b \leq 7$的$a$和$b$，有$$N^*(a,b;8n+a+3b)= \frac{2}{2+{a\choose4}+ab} N(a,b;8n+a+3b)$$而对满足$a+3b=8$的$a$和$b$，有$$N^*(a,b;8n+a+3b) = \frac{2}{2+{a\choose4}+ab} \left( N(a,b;8n+a+3b) - N(a,b; (8n+a+3b)/4) \right).$$对于$a+3b>8$此类恒等式未知。本文中，对满足$a+b$为偶数的通用$a$和$b$，我们证明了当$n\rightarrow\infty$时类似于上述公式的渐近等价性。我们的一个主要结果推广了Bateman、Datskovsky和Knopp在考虑$b=0$与通用$a$情形时的定理。我们的方法与Bateman-Datskovsky-Knopp使用圆法与奇异级数的证明不同。我们通过显式计算$N^*(a,b;8n+a+3b)$与$N(a,b;8n+a+3b)$生成函数的艾森斯坦分量得到了结果。所用方法稳健，可适用于研究具有通用系数的其他表示数的渐近性。