关于两平方和与一个2阶基

令 $\mathcal{R}$ 表示可表示为 $n = x^2 + y^2$ 且 $(x,y) = 1$ 的整数 $n$ 的集合。设 $a$ 和 $b$ 为整数，其中 $a>0$，$a \nmid b$。我们证明，对于足够大的正整数 $N$，存在两个连续正整数串 $I_{1}=\{n_1-m,\ldots, n_1+m\}$ 和 $I_{2}=\{n_2-m, \ldots, n_2+m\}$，使得 $m = [(\log N) (\log \log N)^{1/325565}]$，$I_{1}\cup I_{2} \subset [1, N]$，$N = n_1 + n_2$，并且对于任何 $n\in I_{1}\cup I_{2}$，$n$ 或 $an+b$ 中至少有一个不属于 $\mathcal{R}$。特别地，对于所有 $n\in I_{1}\cup I_{2}$，我们有 $n(an+b)\notin \mathcal{R}$。