两平方和的三角多项式：一个加法问题及其推广

设 $B$ 为两个互素平方和的奇整数集合。我们证明三角多项式 $S(\alpha;N)=\sum_{b\in B,b\leq N} e(b\alpha)$ 满足\n\n$$\frac{S(\alpha; N)}{N/\sqrt{\log N}}<<_{A,A'} \frac{1}{\phi(q)} + \sqrt{\frac{q}{N}}(\log N)^{7} +\frac{1}{(\log N)^A}$$\n\n对于任意 $A,A'\geq 0$，当 $(a,q)=1$ 且 $|q\alpha-a|\leq (\log N)^{A'}/N$ 时。我们结合受 Green 和 Tao 的 Transference 原则影响的圆方法变体，获得将较大的奇整数 $N$ 表示为和 $b+b_1+b_2$ 的个数，其中 $b\in B$，而 $b_1$（或 $b_2$）属于 $B$ 中相对密度为正数的一般子集 $B_1$（或 $B_2$）。我们进一步表明，以上界在 $0\leq A<1/2$ 时具有有效性。