半捆绑两族集合的 Bollobás 型定理

设 $\{(A_i,B_i)\}_{i=1}^{m}$ 为一族集合对，对 $1\leq i\leq m$ 有 $|A_i|=a$ 且 $|B_i|=b$。若当且仅当 $i=j$ 时 $A_i\cap B_j=\emptyset$，则由著名的 Bollobás 定理可知该族的大小满足 $m\leq {a+b\choose a}$。本文考虑该问题的一个变体，额外要求 $\{A_i\}_{i=1}^{m}$ 为相交族。利用外代数方法，我们在这些约束下证明了有限维实向量空间上的一个加权 Bollobás 型定理。作为推论，我们得到了有限集合上的类似定理，解决了 Gerbner 等人最近的一个猜想 \cite{GKMNPTX2019}。此外，我们还确定了有限集合情形下该定理主要情形的 $\{(A_i,B_i)\}_{i=1}^{m}$ 的唯一极值结构。