关于最优子空间聚类模型的存在性

给定希尔伯特空间 $\HH$ 中的一组向量 $\F=\{f_1,\dots,f_m\}$，以及 $\HH$ 的闭子空间族 $\CC$，子空间聚类问题在于寻找 $\CC$ 中一个子空间的并集，使其最佳逼近（建模）数据 $\F$。该问题与数学、计算机科学和工程学的许多领域有应用和联系，例如广义主成分分析（GPCA）、学习理论、压缩感知和有限创新率采样。本文刻画了存在这种最佳逼近的子空间族 $\CC$ 的特征。在有限维情形，该特征用增广集 $\CC^+$ 的凸包表示。然而在无限维情形，该特征用一个新的但相关的概念——接触包——表示。作为应用，推导了来自阿贝尔群酉表示的 $\pi(G)$-不变族 $\CC$ 的最佳逼近的存在性。