一种用于聚类问题的黎曼优化方法

本文考虑如下形式的优化问题：$\min_{X \in \mathcal{F}_v} f(x) + \lambda \|X\|_1,$ 其中$f$光滑，$\mathcal{F}_v = \{X \in \mathbb{R}^{n \times q} : X^T X = I_q, v \in \mathrm{span}(X)\}$，且$v$为给定的正向量。$k$-means、社区检测和归一化割等聚类模型（但不限于这些模型）可重新表述为此类优化问题。我们证明了定义域$\mathcal{F}_v$构成$\mathbb{R}^{n \times q}$的紧致嵌入子流形，并推导了优化相关工具，包括一族计算高效的收缩映射以及$\mathcal{F}_v$任意法空间的标准正交基。提出了一种允许自适应步长的不精确加速黎曼近端梯度法，并建立了其全局收敛性。通过网络上社区检测和图像分割中归一化割的数值实验验证了所提方法的性能。