percolation 聚类结构中的 blob 之外: 2 及 3 维平坦晶格上的 3 块分布

在键 percolation 阈值处出现的无限 cluster 可分解为单连通的“链接”和多连通的“blob”。本文将 blob 分解为图论中称为 3 块的对象。3 块是无法通过切断不超过 2 个顶点来分离为不相连子图的图。cluster、blob 和 3 块分别是 $k$-block，其中 $k=1$、2、3。我们研究了二维平方晶格和三维立方晶格上的键 percolation 聚类，并通过蒙特卡洌仿真确定了 3 块大小分布。我们发现 2D 中的 3 块 fractal 维数为 $d_3=1.2\pm 0.1$，3D 中为 $1.15\pm 0.1$。这些 fractal 维数显著小于 blob 的 fractal 维数，这使得更高效地计算 percolation 属性成为可能。此外，2D 和 3D 中 $d_3$ 估计值接近，这与 $d_3$ 可能是尺度无关性相一致。我们推广了脊柱的概念，引入了“$k$-bone”的概念，其是一组与 $k$ 个互不相连的终端点（或一组互不相连的终端点集合）通过 $k$ 条互不相连路径相连的系统中的所有点。我们认为 $k$-bone 的 fractal 维数等于 $k$-block 的 fractal 维数，从而可以讨论 $k$-block 的 fractal 维数与路径穿越概率研究的最新工作之间的关系。