关于多项式在有限网格中的零点
组合数学
2017-06-14 v2
摘要
Alon 和 F\"uredi 于 1993 年给出的一项结果，根据多项式的次数，给出了有限网格中整环上多元多项式零点数量的一个紧上界。该结果最近被推广到任意交换环上的多项式，前提是网格满足某种“条件”，而当该环是整环时，该条件自然成立。在本文的前半部分，我们给出了一个进一步的广义 Alon-F\"uredi 定理，该定理在同时考虑多项式在每个变量中的次数时提供了一个紧上界。这特别给出了 Alon-F\"uredi 定理的一个新证明。然后我们讨论了 Alon-F\"uredi 定理与 DeMillo-Lipton、Schwartz 和 Zippel 的结果之间的关系。我们展示了 Alon-F\"uredi 定理及其推广在 Reed--Muller 型仿射簇码方面的直接编码理论解释，这给出了这些码的最小 Hamming 距离。然后我们应用 Alon-F\"uredi 定理快速恢复（有时是加强）了有限几何中的新旧结果，包括仿射阻塞集上的 Jamison/Brouwer-Schrijver 界。最后我们讨论了重数增强。
引用
@article{arxiv.1508.06020,
title = {On zeros of a polynomial in a finite grid},
author = {Anurag Bishnoi and Pete L. Clark and Aditya Potukuchi and John R. Schmitt},
journal= {arXiv preprint arXiv:1508.06020},
year = {2017}
}
备注
23 pages, proofs in Section 7 simplified, edits made based on referee reports, to appear in Combinatorics, Probability and Computing