仿射笛卡尔码的广义汉明重量

在本文中，我们回答以下问题：给定一个域 $\mathbb{F}$，$\mathbb{F}$ 的有限子集 $A_1,\dots,A_m$，以及 $r$ 个总次数至多为 $d$ 的线性无关多项式 $f_1,\dots,f_r \in \mathbb{F}[x_1,\dots,x_m]$。$f_1,\dots,f_r$ 在 $A_1 \times \cdots \times A_m$ 中最多能有多少个公共零点？对于 $\mathbb{F}=\mathbb{F}_q$，即具有 $q$ 个元素的有限域，回答此问题等价于确定所谓仿射笛卡尔码的广义汉明重量。从这个角度看，我们的工作是将 Heijnen--Pellikaan 关于 Reed--Muller 码的工作推广到显著更大的仿射笛卡尔码类。