有限域上齐次多项式公共零点的最大数目

大约二十年前，Tsfasman 和 Boguslavsky 猜想了一个公式，用于计算 $r$ 个线性无关的、系数在含 $q$ 个元素的有限域中、具有 $m+1$ 个变量的 $d$ 次齐次多项式在相应的 $m$ 维射影空间中可以具有的公共零点的最大数目。最近，Datta 和 Ghorpade 证明了该猜想仅在 $r$ 不超过 $m+1$ 时成立，否则可能不成立。此外，对于超过 $m+1$ 的许多 $r$ 值，提出了一个新的猜想。在本文中，我们证明了这个新猜想对于几个 $r$ 值成立。特别地，这彻底解决了 $d=3$ 时的新猜想。我们的结果也将 Datta 和 Ghorpade 的肯定结果作为一个特例包含在内。此外，我们确定了早期猜想和结果未涵盖的某些情况下的零点最大数目，即 $d=q-1$ 和 $d=q$ 的情况。所有这些结果都直接适用于确定固定维线性子簇对 Veronese 簇的截影上的最大点数，以及确定射影 Reed-Muller 码的广义 Hamming 权重。