有限 Witt 环上多项式的零点

设 $\mathbb{F}_q$ 表示特征为 $p$、阶为 $q$ 的有限域。设 $\mathbb{Z}_q$ 表示 $p$-进整数 $\mathbb{Z}_p$ 的未分歧扩张，其剩余类域为 $\mathbb{F}_q$。给定两个正整数 $m,n$，定义盒 $\mathcal B_m$ 为 $\mathbb{Z}_q^n$ 的具有 $q^{nm}$ 个元素的子集，使得 $\mathcal B_m$ 模 $p^m$ 等于 $(\mathbb{Z}_q/p^m \mathbb{Z}_q)^n$。对于一组非常数多项式 $f_1,\dots,f_s\in \mathbb{Z}_q[x_1,\ldots,x_n]$ 和正整数 $m_1,\dots,m_s$，定义盒 $\mathcal B_m$ 内的公共零点集合为 $$V=\{X\in \mathcal B_m:\; f_i(X)\equiv 0\mod {p^{m_i}}\mbox{ for all } 1\leq i\leq s\}.$$ 给出 $|V|$ 的 $p$-可除性的精确估计是一个有趣的问题。该问题在以下三种情形已部分解决：(i) $m=m_1=\cdots=m_s=1$，即 Ax-Katz 定理；(ii) $m=m_1=\cdots=m_s>1$，由 Katz、Marshal 和 Ramage 解决；(iii) $m=1$，且 $m_1,\dots,m_s\geq 1$，最近由 Cao、Wan 和 Grynkiewicz 解决。基于 $\mathbb{F}_q$ 上有限 Witt 环的多重加法与乘法，我们研究了尚未考虑的剩余情形 $m>1$ 且对某个 $1\leq j\leq s$ 有 $m\neq m_j$，并最终对此问题给出了完整解答。