k 变量Elekes-R\'onyai定理的改进下界

设 $f\in \mathbb{R}[x_1,\ldots, x_k]$，其中 $k\ge 2$。对于任意有限集合 $A_1,\ldots, A_k\subset \mathbb{R}$，考虑集合 $$f(A_1,\ldots, A_k):=\{f(a_1,\ldots, a_k)\mid (a_1,\cdots,a_k)\in A_1\times\cdots\times A_k\}$$，即将 $A_1\times \cdots\times A_k$ 的映像在 $f$ 下得到的集合。延续处理 $k=2$ 情形的Elekes和R\'onyai定理，以及处理 $k=3$ 情形的Raz、Sharir和De Zeeuw的结果，Raz和Shem Tov证明了：对于任意给定的有限集合 $A_1,\ldots, A_k\subset \mathbb{R}$，每个集合的大小均为 $n$，都有 \begin{equation}\label{RSbound} |f(A_1,\ldots,A_k)|=\Omega(n^{3/2}), \end{equation} 除非 $f$ 具有某种退化的特殊形式。在本文中，我们引入 $k$ 变量多项式 $f$ 的一个“秩”的概念，记为 ${\rm rank}(f)$。设 $r={\rm rank}(f)$，我们证明 \begin{equation} |f(A_1,\ldots,A_k)|=\Omega\left(n^{\frac{5r-4}{2r}-\varepsilon}\right), \end{equation} 对每个 $\varepsilon>0$ 成立，其中比例常数取决于 $\varepsilon$ 和 ${\rm deg}(f)$。这改进了针对 ${\rm rank}(f)\ge 3$ 的多项式 $f$ 的先前下界。我们给出本文主要结果的一个应用，下界估计位于 $\mathbb{R}^d$ 中的时刻曲线上 $d+1$ 元点所张成的不同 $d$ 体积数。