J. Bourgain《重访 Roth 进展定理》附录

我们展示了两个结果。首先是对 Freiman 定理的改进：如果 $A$ 是一个有限整数集且 $|A+A| < K|A|$，那么 $A$ 包含在一个维度至多为 $O(K^{7/4} \log^3K)$ 且大小至多为 $\exp(O(K^{7/4} \log^3K))|A|$ 的多维进展中。其次是对 Konyagin 和 Laba 结果的改进：如果 $A$ 是一个有限实数集且 $a$ 是一个超越数，那么对于所有 $\epsilon>0$，有 $|A+aA| \gg |A|(\log |A|)^{4/3-\epsilon}$。