当比值|2A|/|A|以3+epsilon为界时刻画A的结构
数论
2007-05-23 v1 逻辑
摘要
设N为所有非负整数之集，A为N的有限子集，(2A)为所有形如a+b（a,b∈A）的数之集。当(i) |2A|<3|A|-3，(ii) |2A|=3|A|-3，或(iii) |2A|=3|A|-2时，Freiman精确地刻画了A的算术结构。Freiman还指出，为刻画|2A|>3|A|-2时A的算术结构，需要使用分析方法。然而，Freiman使用分析方法的那些有趣且更一般的结果，不再能给出像上述结果那样精确的A的算术结构。本文借助非标准分析，在|2A|=3|A|-3+b（其中b为正但不太大）时，沿与上述Freiman结果相同的思路刻画了A的算术结构。确切地，我们证明存在正实数epsilon和自然数K，使得若|A|>K且|2A|=3|A|-3+b（0<b<epsilon|A|），则A要么是长度至多为2|A|-1+2b的等差数列的子集，要么是长度至多为|A|+b的双等差数列的子集。两个具有相同公差d的等差数列I和J的并称为双等差数列，如果I+I、I+J和J+J两两不交。
引用
@article{arxiv.math/0504186,
title = {Characterizing the structure of A when the ratio |2A|/|A| is bounded by 3+epsilon},
author = {Renling Jin},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0504186},
year = {2007}
}
备注
67 pages