具有小和集的二维集合的性质

设 $A, B\subseteq \mathbb{R}^2$ 为有限非空子集，设 $s\geq 2$ 为整数，并设 $h_1(A,B)$ 表示最小的数 $t$，使得存在 $2t$ 条（不一定不同）平行线 $\ell_1,...,\ell_{t},\ell'_1,...,\ell'_{t}$，满足 $A\subseteq \bigcup_{i=1}^{t}\ell_i$ 且 $B\subseteq\bigcup_{i=1}^{t}\ell'_i$。假设 $h_1(A,B)\geq s$。那么我们证明：(a) 如果 $||A|-|B||\leq s$ 且 $|A|+|B|\geq 4s^2-6s+3$，则 $$|A+B|\geq (2-\frac 1 s)(|A|+|B|)-2s+1;$$ (b) 如果 $|A|\geq |B|+s$ 且 $|B|\geq 2s^2-{7/2}s+{3/2}$，则 $$|A+B|\geq |A|+(3-\frac 2 s)|B|-s;$$ (c) 如果 $|A|\geq {1/2}s(s-1)|B|+s$ 且要么 $|A|> {1/8}(2s-1)^2|B|-{1/4}(2s-1)+\frac{(s-1)^2}{2(|B|-2)}$ 要么 $|B|\geq \frac{2s+4}{3}$，则 $$|A+B|\geq |A|+s(|B|-1).$$ 这将 Freiman $2^d$ 定理的二维情形推广到了不同的集合 $A$ 和 $B$，并且在对称情形 $A=B$ 下，将 $|A|+|B|$ 的最佳已知界（由 Stanchescu 给出，关于 $s$ 是三次的）改进为一个精确值。作为证明的一部分，我们给出了二维子集的一般下界，改进了 Green 和 Tao 以及 Gardner 和 Gronchi 估计的二维情形，并推广了 Brunn-Minkowski 定理的二维情形。