关于划分秩依解析秩的多项式界

设$G_1, \dots, G_k$为有限域$\mathbb{F} = \mathbb{F}_q$上的向量空间,带有非平凡加法特征$\chi$。多重线性形式$\alpha \colon G_1 \times \dots \times G_k \to \mathbb{F}$的解析秩定义为$\operatorname{arank}(\alpha) = -\log_q \mathbb{E}_{x_1 \in G_1, \dots, x_k\in G_k} \chi\big(\alpha(x_1,\dots, x_k)\big)$。$\alpha$的划分秩$\operatorname{prank}(\alpha)$是加起来等于$\alpha$的划分秩为1的映射的最小个数,其中划分秩为1的映射若能写为两个依赖于不同坐标的多重线性形式的乘积。容易看出$\operatorname{arank}(\alpha) \leq O\Big(\operatorname{prank}(\alpha)\Big)$,且已知$\operatorname{prank}(\alpha)$可由$\operatorname{arank}(\alpha)$从上界限定。在本文中,我们将后一界改进为多项式,即我们证明存在仅依赖于$k$的量$C, D$使得$\operatorname{prank}(\alpha) \leq C (\operatorname{arank}(\alpha)^D + 1)$。作为推论,我们证明了Kazhdan和Ziegler的一个猜想。Janzer独立且同时得到了相同结果。