$\mathbb{F}_p^n$ 中 VC 维受限子集的线性复杂性

第二作者与 Wolf 之前的工作表明，给定 $A\subseteq \mathbb{F}_p^n$ 的受限 $\textrm{VC}_2$-维，其存在一个高秩二次因子 $\mathcal{B}$ 的复杂度受限，使得 $A$ 与 $\mathcal{B}$ 原子的并近似相等。该证明给出的线性与二次复杂性界为指数级。后来的工作进一步证明二次复杂性可降至对数级，但未改进线性部分。本文证明线性复杂性可提升至三重指数（线性秩函数情形），或四重指数（更高次数的多项式秩函数情形）。我们的策略基于 Gishboliner、Wigderson 与 Shapira 在超图情形下所证明的类似结果。步骤一是证明一个“筒形”版本的二次算术正规引理：给定 $A\subseteq G=\mathbb{F}_p^n$，存在将 $G$ 分割为高秩且复杂度受限的二次因子原子的划分，使得大多数原子在 $A$ 上的密度接近 0 或 1。步骤二是表明若 $A$ 具有受限 $\textrm{VC}_2$-维，则其在步骤一中均匀的原子上密度接近 0 或 1。步骤一依赖于 Prendiville 最近提出的局部 $U^3$ 逆定理，故需以该论文中隐含的局部 $U^3$ 范数表述。步骤二则依赖于 Terry 与 Wolf 所述的另一局部 $U^3$ 计数引理，本文对其进行近似等价的证明。