码的分区平衡族与编码理论中的渐近计数

我们引入分区平衡码族这一类别，并展示如何利用其组合不变量来获得具有给定性质的码的数量的上界与下界。特别地，我们针对关于最小距离、覆盖半径和极大性取极值的几类码推导了其密度函数的精确渐近估计。本文所发展的技术适用于各种距离函数，包括 Hamming 距离和秩度量距离。我们结果的应用表明，与 $\mathbb{F}_{q^m}$-线性 MRD 码不同，$\mathbb{F}_q$-线性 MRD 码在同维数码族中并不稠密。更精确地，我们证明当 $q \to +\infty$ 与 $m \to +\infty$ 时，$\mathbb{F}_q$-线性 MRD 码在 $\mathbb{F}_q^{n \times m}$ 中所有同维矩阵码集合中的密度渐近至多为 $1/2$。我们还证明了 MDS 码与 $\mathbb{F}_{q^m}$-线性 MRD 码在极大码族中是稠密的。尽管 $\mathbb{F}_q$-线性秩度量码的覆盖半径不存在冗余界的直接类比，我们证明一致随机矩阵码以高概率满足类似界。特别地，我们证明达到该界的码是稠密的。最后，我们计算了秩度量下线性码的平均重量分布，以及其他推广线性码总重量的参数。