线性子空间的公共补与 MRD 码的稀疏性
组合数学
2022-01-19 v2 离散数学
信息论
math.IT
摘要
受秩度量码理论的启发，我们研究根据有限域上子空间族的基数及其交结构来估计其公共补数量的问题。我们推导了该数量的上下界，以及当域大小趋于无穷时的渐近版本。随后我们利用这些界描述了公共补关于稀疏性与稠密性的一般行为，表明决定性性质在于待补空间的数量相对于域大小是否可忽略。通过将结果专门应用于矩阵空间，我们得到了秩度量中 MRD 码数量的上下界。特别地，我们回答了编码理论中的一个开放问题，证明了随着域大小增长，除极少数例外，MRD 码对所有参数集都是稀疏的。我们还研究了当列数趋于无穷时 MRD 码的稠密性，得到了新的渐近界。利用数论中欧拉函数的性质，我们证明了对于大多数参数集，我们的界改进了已知结果。我们在文末建立了秩度量码稠密度函数的一般结构性质。
引用
@article{arxiv.2011.02993,
title = {Common Complements of Linear Subspaces and the Sparseness of MRD Codes},
author = {Anina Gruica and Alberto Ravagnani},
journal= {arXiv preprint arXiv:2011.02993},
year = {2022}
}