关于 Reed-Muller 码的度量正则性

本文研究了著名的二元 Reed-Muller 码族的度量性质。设 $A$ 为布尔立方的任意子集，$\widehat{A}$ 为 $A$ 的度量补——即布尔立方中所有与 $A$ 距离达到最大可能值的向量组成的集合。若 $\widehat{A}$ 的度量补与 $A$ 重合，则称集合 $A$ 为{\it 度量正则集}。度量正则集的研究问题出现于对{\it 弯曲函数}的研究中，弯曲函数在密码学与编码理论中有重要应用，并且也是度量正则集最早的例子之一。本文描述了度量补，并确立了码 $\mathcal{RM}(0,m)$ 与 $\mathcal{RM}(k,m)$（其中 $k \geqslant m-3$）的度量正则性。此外，证明了码 $\mathcal{RM}(1,5)$ 与 $\mathcal{RM}(2,6)$ 的度量正则性。结合 Tokareva N. (2012) 关于仿射函数与弯曲函数对偶性的先前结果，这确立了绝大多数具有已知覆盖半径的 Reed-Muller 码的度量正则性。我们猜想所有 Reed-Muller 码都是度量正则的。