三阶里德-穆勒码 RM(3,7) 的覆盖半径为 20
信息论
2023-01-18 v3 离散数学
math.IT
摘要
我们证明了三阶里德-穆勒码 RM(3,7) 的覆盖半径为 20，此前已知其介于 20 与 23（含端点）之间。RM(3,7) 的覆盖半径即为所有 7 变量布尔函数的三阶非线性的最大值。已知存在三阶非线性为 20 的 7 变量布尔函数。我们证明三阶非线性不可能达到 21。根据 RM(6,6)/RM(3,6) 商空间的分类，我们将所有 7 变量布尔函数分为 66 类。首先，我们证明其中 62 类不可能具有三阶非线性 21；其次，我们证明若剩余 4 类函数的三阶非线性为 21，则可将其转化为 (6,10) 型函数；最后，我们将 (6,10) 型函数化为一种特定形式，并证明该形式下的函数不可能达到三阶非线性 21（借助计算机完成）。此外，我们证明了任意有限域上的仿射变换群可由两个元素生成。
引用
@article{arxiv.2206.10881,
title = {The Covering Radius of the Third-Order Reed-Muller Code RM(3,7) is 20},
author = {Jinjie Gao and Haibin Kan and Yuan Li and Qichun Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2206.10881},
year = {2023}
}