相对于二次水平集的 Gowers $U^3$ 范数逆定理

我们证明了有限向量空间中支撑在高秩二次水平集上的函数的 Gowers $U^3$ 范数逆定理的有效版本。对于受 $U^3$ 范数控制的构型（复杂度为 2 的构型），这使得人们能够针对二次水平集进行密度增量论证，而二次水平集是有限向量空间上二次 Fourier 分析中 Bohr 集的类似物。我们通过推导三项等差数列及其公差同色（“Brauer 四元组”）的 Ramsey 数的指数界来论证这一方法，这是一个我们一直无法通过其他方法确立的结果。我们的方法还对缺乏复杂度为 2 的平移不变构型的集合的密度产生了多项式对数界。Green 和 Tao 曾使用更简单的弱正则性论证获得了四项等差数列的此类界。在附录中，我们给出了一个如何将 Green 和 Tao 的论证推广到其他复杂度为 2 的平移不变构型的例子。然而，这关键地依赖于来自 Croot-Lev-Pach 多项式方法的一个估计，该方法可能不适用于所有复杂度为 2 的系统。因此，针对二次水平集进行密度增量论证可能对此类问题仍然有用。它也可以作为在更一般的 nil-Bohr 集上进行密度增量的模型，以期实现其他 Szemerédi 型定理的有效化。