$\mathbb{F}_2^n$ 中 Gowers 一致性范数 $\mathsf{U}^5$ 与 $\mathsf{U}^6$ 的定量逆定理

我们证明了 $\mathbb{F}_2^n$ 中 Gowers 一致性范数 $\mathsf{U}^5$ 和 $\mathsf{U}^6$ 的逆定理的定量界。证明始于 Gowers 与作者早先的一个部分结果，该结果将逆问题归结为对某些多重线性形式的代数性质的研究。本文工作的主体是使用正则性方法的代数版本，研究 $\operatorname{Sym}_4$ 和 $\operatorname{Sym}_5$ 在多重线性形式空间上的自然作用与分块秩之间的关系。在此过程中，我们对 Tidor 关于 5 个变量上近似对称多重线性形式的一个猜想给出了肯定回答，而该猜想在 4 个变量的情况下已知不成立。最后，我们讨论了该论证对 $\mathsf{U}^k$ 范数推广的可能性。