低特征有限域上 $U^4$-逆定理的定量界

本文给出了当 $p=2,3$ 时，在 $\mathbb{F}_p^n$ 上 Gowers $U^4$-范数逆定理的首个定量界。我们建立在 Gowers 和 Milićević 早期工作的基础上，他们解决了 $p\geq 5$ 时的相应问题。我们的证明有两个主要步骤：低特征三线性形式的对称化与积分。我们能够解决所有 $k$-线性形式的积分问题，但对称化问题仅能解决三线性形式的情况。我们提出了若干关于低特征 $k$-线性形式对称化的开放问题，其解决结合 Gowers 和 Milićević 近期的工作，将给出对所有 $k,p$ 在 $\mathbb{F}_p^n$ 上 Gowers $U^{k+1}$-范数逆定理的定量界。