某些方向性 Gowers 一致范数的反定理

设 G 为素域 𝔽_p 上的有限维向量空间，带有若干子空间 H₁, …, H_k。令 f: G → ℂ 为一函数。Austin 推广 Gowers 一致范数的概念，引入了 f 在 (H₁, …, H_k) 上的方向性 Gowers 一致范数：‖f‖_{𝖴(H₁, …, H_k)}^{2^k} = 𝔼_{x∈G, h₁∈H₁, …, h_k∈H_k} ∂_{h₁}…∂_{h_k} f(x)，其中 ∂_u f(x) := f(x+u) f(x)⁻ 为离散乘法导数。设 G 为子空间直和 G = U₁ ⊕ U₂ ⊕ … ⊕ U_k。本文我们证明范数 ‖·‖_{𝖴(U₁, …, U_k, G, …, G)}（其中 G 重复 ℓ 次）的反定理，这是方向性 Gowers 一致范数反问题中最简单而有趣的非平凡未知情形。即，记上述范数为 ‖·‖_𝖴，我们证明若 f: G → ℂ 为模有界不超过 1 且满足 ‖f‖_𝖴 ≥ c，在 ℓ < p 时，可找到一个次数不超过 k+ℓ−1 的多项式 α: G → 𝔽_p，以及对 i∈[k] 的函数 g_i: ⊕_{j∈[k]\{i}} G_j → {z∈ℂ: |z|≤1}，使得 |𝔼_{x∈G} f(x) ω^{α(x)} ∏_{i∈[k]} g_i(x₁, …, x_{i−1}, x_{i+1}, …, x_k)| ≥ (exp^{(O_{p,k,ℓ}(1))}(O_{p,k,ℓ}(c⁻¹)))⁻¹。证明依赖于用 Freiman 多重同态反定理证明的长方体计数函数逼近定理。