具有多对数界的两线性Bogolyubov-Ruzsa引理

Bogolyubov-Ruzsa引理，特别是Sanders获得的定量界，在获得Gowers范数逆$U^3$定理的有效界中起着核心作用。最近，Gowers和Milićević应用了两线性Bogolyubov-Ruzsa引理作为具有有效界的逆$U^4$定理证明的一部分。本注记的目标是获得与Sanders为Bogolyubov-Ruzsa引理所获得的那些类似的定量界。我们证明，若集合$A \subset \mathbb{F}_p^n \times \mathbb{F}_p^n$具有密度$\alpha$，则经过常数次水平和垂直求和后，集合$A$将包含一个余维数$r=\log^{O(1)} \alpha^{-1}$的两线性结构。这改进了Gowers和Milićević获得的类似结果(其界较弱，为$r=\exp(\exp(\log^{O(1)} \alpha^{-1}))$)以及Bienvenu和Lê获得的$r=\exp(\exp(\exp(\log^{O(1)} \alpha^{-1})))$。