有界指数群中的多项式塔与逆 Gowers 理论

本文发展了针对有界指数 abelian 群的 Host--Kra 与逆 Gowers 理论。我们证明，与此类群的动作相关联的 Host--Kra 因子 $Z^{\leq k}(\mathrm{X})$ 存在具有“多项式塔”结构的扩展。这种新概念是通过对平凡系统进行有限次以多项式 cocycle 为核心的 abelian 扩展得到的；关键在于，这些系统中的中间扩展并非必须与 Host--Kra 因子一致。我们证明，所有此类扩展都是 Abramov 型的（这概括了 Candela、Gonz\'alez-S\'anchez 与 Szegedy 最近的某些结果），但不一定是 Weyl 型的，并且具有 k 步平移系统的结构。将这一结构定理与第一作者和第三作者所著的一元对应原理相结合，我们推导出有界指数 abelian 群上 Gowers 范数逆定理：较大的 $U^{k+1}$ 范数意味着与该群上次数 $\le k$ 的多项式（即使该指数不是平方无穷或被小质数整除）具有较大的相关性。这解决了第一作者和第三作者对此类群的猜想，也回答了 Candela、Gonz\'alez-S\'anchez 与 Szegedy 的一个问题。