多项式增长集合与测度的逆定理

我们给出了任意群$G$中满足多项式增长条件$|A^n| \leq n^d |A|$（对于某个有界的$d$和充分大的$n$）的有限子集$A$的结构性描述，表明此类集合在某种精确意义下受控于（有界数量的平移后的）陪集零幂级数。这一描述恢复了Breuillard-Green-Tao和Breuillard-Tointon先前关于多项式增长集合的一些结果；我们还能够相当明确地描述$|A^m|$在$m \geq n$时的后续增长，至少当$A$是恒等元的对称邻域时如此。我们也得到了对称概率测度$\mu$的类似描述，其$n$重卷积$\mu^{*n}$满足条件$\| \mu^{*n} \|_{\ell^2}^{-2} \leq n^d \|\mu \|_{\ell^2}^{-2}$。在阿贝尔情形下，这一描述恢复了Nguyen-Vu的逆Littlewood-Offord定理，并给出了Tiep-Vu最近的非阿贝尔逆Littlewood-Offord定理的一个变体。我们建立这些结果的主要工具是Breuillard、Green和本文作者描述近似群结构的逆定理。