有限群近似表示的逆定理与稳定性定理

$U^2$范数为定义在有限（或更一般地，局部紧）群上的实值或复值函数提供了一种有用的拟随机性度量。一个简单的傅里叶分析论证给出了一个逆定理，表明定义在有限阿贝尔群上且具有大$U^2$范数的有界函数必然与某个特征标显著相关。在本文中，我们将这一结论推广到定义在任意有限群上且取值于M$_n(\mathbb C)$的函数。现在的结论是该函数与某个表示相关——但有一个转折，即表示的维数被证明与$n$相差一个常数，而非恰好等于$n$。存在简单的例子表明对这种显然结论的弱化是必要的。证明远比阿贝尔群上标量函数的情况不直接。作为一个简单的推论，我们证明了近表示的稳定性定理。它指出，若$G$是一个有限群且$f:G\to$M$_n(\mathbb C)$是一个在某种意义下接近表示的函数，即对每对$x,y\in G$，$f(xy)-f(x)f(y)$具有小的Hilbert-Schmidt范数（也称为Frobenius范数），则必存在一个表示$\rho$使得对每个$x$，$f(x)-\rho(x)$具有小的Hilbert-Schmidt范数。同样，$\rho$的维数不必恰好为$n$，但必须接近$n$。我们还获得了针对其他Schatten $p$-范数的稳定性定理。此类稳定性定理曾由Grove、Karcher和Ruh于1974年针对算子范数得到，并由Kazhdan于1982年以更一般的形式得到。（对于算子范数，逼近表示的维数恰好为$n$。）