基于面格子的线性规划复杂度

设 $X$ 是 $Z^d$ 中的一个有限集。我们考虑在 $X$ 上优化线性函数 $f(x) = c^T x$ 的问题，其中 $c\in Z^d$ 是输入向量。我们称其为问题 $X$。问题 $X$ 与线性规划 $\max\limits_{x \in P} f(x)$ 相关，其中多面体 $P$ 是 $X$ 的凸包。评估问题 $X$ 复杂度的关键参数是维数 $d$、基数 $|X|$ 以及编码大小 $S(X) = \log_2 \left(\max\limits_{x\in X} \|x\|_{\infty}\right)$。我们证明，如果求解问题 $X$ 的某算法 $A$ 的（时间和空间）复杂度仅定义为 $P$ 的组合结构和大小 $S(X)$ 的函数，那么对于任意 $d$ 和 $n$，都存在一个多项式时间（关于 $d$、$\log n$ 和 $S$）可解的问题 $Y$，满足 $\dim Y = d$，$|Y| = n$，使得算法 $A$ 求解 $Y$ 时需要指数级的时间或空间。