形状划分多胞形上顶点枚举与优化的多项式时间算法

我们考虑{\em 形状划分问题}：将实 $k$ 维空间中的 $n$ 个给定向量划分为 $p$ 个部分，以最大化一个在每个部分中向量之和上凸的任意目标函数，并满足对每个部分中元素个数的任意约束。在处理此问题时，我们研究定义为解之凸包的{\em 形状划分多胞形}。形状划分问题包含了诸如最大割问题与旅行商问题等 ${\cal N}{\cal P}$-困难问题，且即便 $k$ 或 $p$ 固定，形状划分多胞形也可能具有指数多个顶点与面。相反，我们证明当 $k$ 与 $p$ 均固定时，顶点数关于 $n$ 是多项式的，且所有顶点可被枚举、优化问题可在强多项式时间内求解。具体而言，我们证明任意形状划分多胞形有 $O(n^{k{p\choose 2}})$ 个顶点，可在 $O(n^{k^2p^3})$ 次算术运算中枚举，且任意形状划分问题可在 $O(n^{kp^2})$ 次算术运算中求解。