张量的划分秩相对于解析秩的多项式界

定义在有限域 $\mathbb{F}$ 上的张量，若其取值分布与均匀分布显著不同，则具有低解析秩。一个 $d$ 阶张量若可写为两个阶数小于 $d$ 的张量的乘积，则其划分秩为 1；若可写为 $k$ 个划分秩为 1 的张量之和，则其划分秩至多为 $k$。在本文中，我们证明若 $d$ 阶张量的解析秩至多为 $r$，则其划分秩至多为 $f(r,d,|\mathbb{F}|)$，其中对固定的 $d$ 和 $\mathbb{F}$，$f$ 是 $r$ 的多项式。这是对作者近期结果的改进，其此前得到的是塔型界。在我们工作之前，已知最佳界是 $r$ 和 $d$ 的阿克曼型函数，尽管它不依赖于 $\mathbb{F}$。由我们的结果可知，有偏多项式具有低秩；在此我们也获得了多项式依赖关系，改进了先前已知的阿克曼型界。Milićević 独立且同时得到了类似的划分秩多项式界。