关于扰动多项式的小小数部分

关于多项式与伪多项式的小小数部分问题在解析数论中有着悠久历史。本文改进了Madritsch与Tichy的早期工作。具体地，令$f=P+\phi$，其中$P$为$k$次多项式，$\phi$为形如$x^c$（$c\notin\mathbb{N}$，$1<c<k$）的函数的线性组合。我们证明对任意给定的无理数$\xi$，在$P$属于某类多项式且$\rho(k)>0$为$k$的显式有理函数时，有$$\min_{\substack{2\leq p\leq X\\ p \text{ prime}}} \Vert \xi \lfloor f(p)\rfloor\Vert \ll_{f,\epsilon} X^{-\rho(k)+\epsilon}.$$