关于多项式型函数的小小数部分

在最近一篇论文中，Madritsch和Tichy建立了多项式型函数小数部分的丢番图不等式。特别地，对于$f(x)=x^k+x^c$，其中$k$为正整数、$c>1$为非整数，以及任意固定$\xi\in [0,1]$，他们得到$$\min_{2\leq p\leq X} \Vert \xi \lfloor f(p)\rfloor \Vert\ll_{k,c,\epsilon} X^{-\rho_1(c,k)+\epsilon}$$其中$\rho_1(c,k)>0$被显式给出。在本注记中，我们在$c>k$且$c>4$的情形下改进了他们的结果。