多项式的同时小小数部分

设 $f_1,\dots,f_k\in\mathbb{R}[X]$ 为次数至多为 $d$ 且 $f_1(0)=\dots=f_k(0)=0$ 的多项式。我们证明存在整数 $n<x$ 使得对所有 $1\le i\le k$，小数部分 $\|f_i(n)\|\ll x^{c/k}$，其中 $c=c(d)$ 是仅依赖于 $d$ 的常数。这在 $k$ 的方面本质上是最优的，并改进了 Schmidt 早先的结果——他将同样的结论中的 $c/k$ 换成了 $c/k^2$。