仅被稀疏素数集整除的伪多项式与 $\alpha$-原发性伪多项式

我们探讨关于伪多项式的两个问题，伪多项式是指满足对所有 $n,k$ 均有 $k$ 整除 $f(n+k)-f(n)$ 的函数 $f:\mathbb N \to \mathbb Z$。首先，对 certain 任意稀疏集 $R$，我们构造伪多项式 $f$，使得仅当 $p \in R$ 时存在 $n$ 满足 $p|f(n)$。这意味着并非所有伪多项式都满足 Kowalski 与 Soundararajan 近期论文中的一条假设。我们还考虑 $\alpha$-原发性伪多项式，其中伪多项式条件仅对密度為 $\alpha$ 的素数集中的 $k$ 要求。我们证明若一个 $\alpha$-原发性伪多项式为 $O(e^{(2/3-\epsilon) n})$，则其为多项式。