Elekes-Rónyai 定理的再探

本文证明了对于任意 $f\in\mathbb{R}(x_1,x_2)$ 以及 $\mathbb{R}$ 的非空有限子集 $A_1,A_2$（满足 $|A_1|=|A_2|$ 且 $f$ 在 $A_1\times A_2$ 上有定义），我们有\n\begin{equation*} |f(A_1,A_2)|=\Omega\left(|A_1|^{\frac{4}{3}}\right) \end{equation*}\n除非存在 $g,l_1,l_2\in\mathbb{R}(x)$ 使得 $f(x_1,x_2)=g(l_1(x_1)+l_2(x_2))$、$f(x_1,x_2)=g(l_1(x_1)\cdot l_2(x_2))$ 或 $f(x_1,x_2)=g\left(\frac{l_1(x_1)+l_2(x_2)}{1-l_1(x_1)\cdot l_2(x_2)}\right)$。该结果改进了 Elekes-Rónyai 定理，并推广了 Raz-Sharir-Solymosi 针对 $f\in\mathbb{R}[x_1,x_2]$ 所证明的结论。此外，对 $f\in\mathbb{C}(x_1,x_2)$ 及 $\mathbb{C}$ 的子集 $A_1,A_2$ 证明了类似的结果。