四维 Elekes-Szabó 定理

设 $F\in\mathbb{C}[x,y,s,t]$ 为不可约的常数次多项式，$A,B,C,D\subset\mathbb{C}$ 为大小为 $n$ 的有限集。我们证明，除非 $F$ 具有特殊的群相关形式，否则 $F$ 在笛卡尔积 $A\times B\times C\times D$ 上的零点至多为 $O(n^{8/3})$ 个。对于大小不等的 $A,B,C,D$ 也有类似结论。这是对我们最近关于三维原始 Elekes-Szabó 定理的改进分析的四维推广。我们给出三个应用：不具有特殊形式的三元实多项式的指数增长界、既非平面又非四次的挠曲线的共面四元组数量界，以及次数至少为五的平面曲线的四点圆数量界。