三次曲面上共线性的Elekes-Szabó问题

我们研究三次曲面上的果园问题。我们对可能的可约三次曲面 $X\subseteq \mathbb{P}^3(\C)$ 进行分类，这些曲面具有光滑分支，其上存在有限集合族（大小无界），具有二次多的3-rich直线，且不以自然意义集中于任何射影平面。即我们证明，这样的族存在当且仅当 $X$ 是共享一条公共直线的三张平面的并。在此过程中，我们得到关于容许满足Elekes-Szabó条件的代数作用的群之幂零性的一般结果，并证明如下纯代数几何命题：若在光滑不可约三次曲面上过充分一般的点 $a,b,c,d$ 的四个Geiser对合之复合具有无穷多不动点，则一张单一平面包含 $a,b,c,d$ 以及除有限个外的所有不动点。