群作用Szemerédi-Trotter定理及其在任意特征果园问题中的应用

我们建立了任意域上Szemerédi-Trotter定理的群作用版本，推广了Bourgin关于群$\mathrm{SL}_2(k)$的结果。作为Elekes-Szabó型应用，我们得到了$\mathbb{P}^3(k)$中可约三次曲面上共线三元组数量的定量界，其中$k = \mathbb{F}_{q}$和$k = \mathbb{C}$，从而改进了Bays、Dobrowolski和第二作者最近的结果。