通过节点退化构造性证明 K3 曲面的 Hodge 猜想

我们给出复 $K3$ 曲面 Hodge 猜想的一个构造性证明,该证明不依赖于 Torelli 型结果。从任意有理 $(1,1)$-类 $\alpha\in H^{1,1}(X,\mathbb{Q})$ 出发,我们算法化地构造一个至多获得十个 $A_1$-节点的一参数四次 $K3$ 族。在中心纤维 $\widetilde{X}_0$ 上,类 $\alpha$ 特化为超平面类与来自节点爆破的例外 $(-2)$-曲线的 $\mathbb{Q}$-线性组合。利用 Clemens--Schmid 序列结合 Picard--Lefschetz 理论,我们识别出 $\Gr^W_2 H^2_{\lim}\cong H^2(\widetilde{X}_0)$,并将该组合回送至原光滑曲面上,得到一个代数除子。这给出了一个显式的有限步过程,使得任意有理 $(1,1)$-类可由代数循环实现。我们还针对 Calabi--Yau 三维流形上的 $(2,2)$-类提出了等变推广,表明同一策略有望推广到更高维情形。