可见 clique、立方容器与稠密果园核心

Kara、Por 和 Wood 关于 Big-Line-Big-Clique 猜想的论断指出，对于每一个固定的 $k$ 和 $\ell$，每个足够大的有限平面点集要么包含 $k$ 个共线点，要么包含 $\ell$ 个两两可见点。我们在两种结构化情形下证明了该猜想的量化形式，并阐明了完整猜想的精确障碍。主要结果是确定性的立方容器定理。如果 $A \subset \mathbb{R}^2$ 包含 $n$ 个点，且不存在 $k$ 个共线点、除去 $s$ 个点外其余点都位于实立方曲线上，则由立方曲线支持的 $A$ 的可见 clique 覆盖大小为 $O_k(s+1)$；特别地，若立方曲线不是排除的三直线情形（仅包含 $O_k(1)$ 个点），则 $V(A)$ 包含大小为 $\Omega_k(n/(s+1))$ 的 clique。结合 Green-Tao 结构定理，我们得到，每个没有 $k$ 个共线点且至多有 $Kn$ 条普通直线的 $n$ 个点集包含大小为 $\Omega_{k,K}(n)$ 的可见 clique；更强地说，除去 $O_K(1)$ 个点外，所有点可划分为 $O_{k,K}(1)$ 个两两可见的集合。我们还将立方容器定理与 Elekes-Szabo 关于三直线和立方曲线的定理结合，证明了点集位于任意固定不可约代数曲线上的 Big-Line-Big-Clique 结论。最后，我们证明了稠密果园核心引理，表明若不存在可见的 $K_\ell$，则存在一个正密度的子集，其中每个点都位于线性数量的 3-富线上，我们给出一个尖锐的单阻塞实例，说明为何必须忽略环境阻塞因素。