三次曲面上 Brauer-Manin 阻碍的持续性

设 $X$ 为全局域 $k$ 上的三次曲面。我们证明：$X$ 上不存在 $k$-点的 Brauer-Manin 阻碍在每一个次数与 $3$ 互素的扩张 $L/k$ 上均会持续。换言之，三次曲面在 $k$ 上具有非空 Brauer 集当且仅当它在某个满足 $3\nmid[L:k]$ 的扩张 $L/k$ 上具有非空 Brauer 集。因此，Colliot-Thélène 与 Sansuc 关于三次曲面上 Brauer-Manin 阻碍充分性的猜想蕴含：$X$ 具有 $k$-有理点当且仅当 $X$ 具有次数为 $1$ 的 $0$-闭链。后一陈述是 Cassels 与 Swinnerton-Dyer 猜想的一个特例。