弱 Dirac 猜想的新进展

2014 年，Payne-Wood 证明了欧几里得平面中任意 $n$ 个点的非共线集 $P$ 包含一个点，该点位于至少 $\dfrac{n}{37}$ 条由 $P$ 确定的直线上。这是对 Erd\H{o}s 提出的猜想的显著解答，该猜想认为任意 $n$ 个点的非共线集 $P$ 包含一个点，该点位于至少 $\dfrac{n}{c_1}$ 条由 $P$ 确定的直线上，其中 $c_1$ 为某常数。在本文中，我们改进了 Payne-Wood 的结果，得出任意 $n$ 个点的非共线集 $P$ 包含一个点，该点位于至少 $\dfrac{n}{26}+2$ 条由 $P$ 确定的直线上。此外，我们还讨论了关于 Beck 定理的一些关系，该定理指出任何最多有 $l$ 个点共线的 $n$ 点集 $P$ 至少确定 $\dfrac{1}{61}n(n-l)$ 条直线。