关于Guth-Katz定理的一个应用

我们证明，对于某个普适常数$c$，欧几里得平面中一个由$N>\frac{1}{c}$个点组成的非共线点集，至少能确定$c \frac{N}{\log N}$个不同的以原点为一个顶点的三角形面积，以及至少$c \frac{N}{\log N}$个不同的点积。这特别地蕴含了一个和积界：对于离散集合$A \subset {\mathbb R}$，有$$|A\cdot A\pm A\cdot A|\geq c\frac{|A|^2}{\log |A|}$$。