关于 Minkowski 距离与和集乘积

给定实平面中的两点 $p,q$，以 $[pq]$ 为对角线的矩形的有向面积等于点 $p,q$ 之间 Minkowski 距离的平方。我们证明，Minkowski 平面 $\R^{1,1}$ 中的 $N>1$ 个点生成 $\Omega(\frac{N}{\log{N}})$ 个不同的距离，或者所有距离均为零。该证明沿用了 Elekes/Sharir/Guth/Katz 解决 Erd\H os 距离问题的方法，通过考虑 Minkowski 等距群 $ISO^*(1,1)$ 的作用，分析了由此产生的三维关联问题。度规的符号为将 Guth/Katz 关联定理应用于当前的三维问题造成了障碍，因为可能会遇到大量位于零直线或“光锥”上的全等线段，这些线段的 Minkowski 长度均为零。用 Guth/Katz 定理的术语来说，其关于不存在“富平面”的条件通常会被破坏。然而结果表明，人们可以有效地识别并扣除对应于零区间的关联，并设计一种计数策略，其中富平面条件恰好足以使该策略成功。作为推论，我们对多于一个元素的有限集 $A,B\subset \R$ 建立了如下接近最优的和积型估计：$$|(A\pm{B})\cdot{(A\pm{B})}|\gg{\frac{|A||B|}{\log{|A|}+\log{|B|}}}.$$