有限域上向量空间中超平面的平均值、积和理论及 Erdos-Falconer 距离猜想

我们证明了有限域上向量空间中点与超平面之间关联数的逐点界和平均界。虽然我们的估计在一般情况下是尖锐的，但我们观察到对于积集和包含在球面上的集合有所改进。我们利用这些关联界，显著改进了用 $A \cdot A+... +A \cdot A$ 覆盖 ${\mathbb F}_q$（具有 q 个元素的有限域）这一算术问题，其中 A 是 ${\mathbb F}_q$ 的一个足够大的子集。我们还利用开发的关联机制和算术构造，研究了有限域上向量空间中的 Erdos-Falconer 距离猜想。我们证明，由于算术的影响，欧几里得 Erdos-Falconer 距离猜想的自然类比在此设定下不成立。积极的一面是，我们获得了 $\mathbb F_q^d$ 中单位球面子集的 Erdos-Falconer 距离问题的良好指数，并讨论了其尖锐性。这使得对一般有限域上高维向量空间中 Erdos-Falconer 距离问题的描述相当完整。