有限域中的异常投影：傅里叶分析估计与位移几何

我们考虑估计向量空间上子集在子空间上的异常投影（小于典型值的投影）的数量问题。我们建立的估计依赖于傅里叶变换的 $L^p$ 估计，改进了各种已知界限，适用于傅里叶分析性质良好的集合。特殊情况 $p=2$ 恢复了 Bright 和 Gan（跟随 Chen）的最新结果，建立了连续情形中 Peres--Schlag 界限的有限域类比。我们证明了若干与独立兴趣相关的辅助结果，包括子空间的字符和公式（解决 Chen 的问题）以及子空间的 Plancherel 定理的完全推广。这些辅助结果在仿射位移几何中也有应用，即估计点集与仿射 $k$ 平面之间的位移数量。我们提出了一种新颖且直接的证明方法，避免使用谱图论，并提供简单的例子说明这些估计在常数因子内是尖锐的。