有限域上傅里叶变换的 $L^p$ 平均值

傅里叶变换在以有限域向量空间中刻画的许多几何和组合问题中发挥着核心作用。如果一个集合在其傅里叶变换上拥有最佳 $L^\infty$ 界（即，它是一个萨尔姆集合），则通常可以更轻松地对其进行分析。然而，在许多情况下，即使“大多数”点都具有良好的点界，获取良好的均匀界也不可能。为此，我们提出了一种框架，通过系统地研究傅里叶变换的 $L^p$ 平均值并跟踪 $p$ 处的 $L^p$ 界的好坏程度。这捕获了关于集合的更细致的信息，例如，仅询问它是否为萨尔姆集合。我们通过考虑几个例子来探索这一想法，发现一种丰富的理论随之出现。此外，我们提供了本方法的各种应用；包括和集问题、有限域距离猜想，以及计数给定集合内部 $k$ 仪器面的问题。我们的典型应用形式为：若集合在其傅里叶变换上拥有良好的 $L^p$ 界，则我们能够作出强大的几何结论。